有趣的流体小知识（一）——只凭观察，如何快速估计出湖的深度？

风拂湖面，波光粼粼，美轮美奂。

现在思考这样一个看似不可能的问题：我们只凭观察，没有测量，如何快速估计出湖的深度？

流体动力学告诉我们，在一定条件下，通过观察湖面波浪的行进速度，就可以快速估计水深！

是不是很神奇？生活小技巧 Get！

下面我将从基本流体力学方程出发，给出详细的理论推导过程 ~

公式预警，不感兴趣的小伙伴们也可以跳转最后的答案揭晓环节，直接查看答案！

理论推导环节

如图 1 所示，简化湖面为二维情形，建立平面直角坐标系 $ (z, \,x) $。

图 1 对湖面水波建立平面直角坐标系

对于湖水，考虑 无粘、不可压、原始静止、小扰动 情况下的 Navier-Stokes (N-S) 方程，即 Euler 方程 \[ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \left(\vec{u} \cdot \nabla\right) \vec{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g} \tag{1} \label{eq1} \] 其中，$ \vec{u} $ 为速度，$ \rho $ 为密度，$ p $ 为压强，$ \vec{g} $ 为重力加速度矢量。

由原始静止、小扰动条件，可假设扰动速度与压强为 \[ \vec{u} = \vec{u}_{0} + \vec{u}^{\prime} = \vec{u}^{\prime} , \quad p = p_{0} + p^{\prime} \tag{2} \label{eq2} \] 其中，满足 $ \vec{u} $ 为趋于零的小量，且 $ p^{\prime} \ll p_{0} $。

将式 \(\eqref{eq2}\) 代入式 \(\eqref{eq1}\) ，忽略高阶小对流项 $ \left(\vec{u} \cdot \nabla\right) \vec{u} $ ，得到 线性化 Euler 方程 \[ \frac{\partial \vec{u}^{\prime}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g} \tag{3} \label{eq3} \] 首先对上式两边取旋度，由于重力有势，故有 $$ \frac{\partial \vec{\omega}^{\prime}}{\partial t} \equiv 0 \tag{4} \label{eq4} $$ 其中 $ \vec{\omega}^{\prime} = \nabla \times \vec{u}^{\prime} $ 为扰动速度旋度，故扰动速度无旋。 由无旋场与有势场的等价性，可引入扰动速度势 $ \varphi $，满足 $$ \vec{u}^{\prime} = \nabla \varphi \tag{5} \label{eq5} $$ 将上式代入不可压连续性方程 $ \nabla \cdot \vec{u}^{\prime} = 0 $，可得 $$ \nabla^{2} \varphi = \Delta \varphi = \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}} + \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}} = 0 \tag{6} \label{eq6} $$

即扰动速度势满足 Laplace 方程。又将式 \(\eqref{eq5}\) 代入式 \(\eqref{eq3}\) 左式，可得 \[ \frac{\partial}{\partial t} \nabla \varphi = - \nabla \left(\frac{p}{\rho} + g z\right) \tag{7} \label{eq7} \] 其中，$ z $ 为水深。另外，由流体静力学知识，有 $$ p = p_{a} - \rho g z + p^{\prime} \tag{8} \label{eq8} $$ 其中，$ p_{a} $ 为湖面上方大气压强，假设保持恒定。将式 $\eqref{eq8}$ 代入式 $\eqref{eq7}$，可得 $$ \frac{\partial}{\partial t} \nabla \varphi = - \nabla \left(\frac{p}{\rho} + g z\right) = - \nabla \left(\frac{p_{a} + p^{\prime}}{\rho}\right) = - \nabla \left(\frac{p^{\prime}}{\rho}\right) \tag{9} \label{eq9} $$ 上式可进一步化为 $$ \frac{\partial \varphi}{\partial t} = - \frac{p^{\prime}}{\rho} \tag{10} \label{eq10} $$ 假设水波自由面方程为 $ z = \zeta \left(x, t\right) $，$ \zeta $ 为偏离平衡位置的位移小量，在该界面上满足 $ p = p_{a} $，代入式 $\eqref{eq8}$ 可得 $$ p^{\prime} = \rho g \zeta \tag{11} \label{eq11} $$

将式 \(\eqref{eq11}\) 代入式 \(\eqref{eq10}\) 可得水波的 动力学边界条件 \[ \left.\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right|_{z=\zeta}=-g \zeta \tag{12} \label{eq12} \] 另外，考虑水波自由面作为物质面的运动过程 \[ V_{z} = \left.\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right|_{z=\zeta}=\frac{\mathrm{d} \zeta}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial \zeta}{\partial t}+\frac{\partial \zeta}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial \zeta}{\partial t}+\frac{\partial \zeta}{\partial x} u^{\prime} \tag{13} \label{eq13} \] 对上式略去高阶小量，进行线性化，得到水波的 运动学边界条件 \[ \left.\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right|_{z=\zeta}=\frac{\partial \zeta}{\partial t} \tag{14} \label{eq14} \] 结合式 \(\eqref{eq12}\) 与 \(\eqref{eq14}\)，可得 \[ \left.\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}+g \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)\right|_{z = \zeta} = 0 \tag{15} \label{eq15} \] 下面应用两个边界条件，再通过引入壁面边界条件，求解扰动速度势满足的 Laplace 方程。

引入波长为 $ \lambda $，周期为 $ T $，波数为 $ k = \frac{2 \pi}{\lambda} $，频率为 $ \omega = \frac{2 \pi}{T} $，波速为 $ c = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T} $ 的扰动速度势主模态 (Normal mode) \[ \varphi=\Phi(z) e^{i(k x-\omega t)} \tag{16} \label{eq16} \] 其满足 Laplace 方程 \(\eqref{eq6}\) 的通解为 \[ \Phi(z)=\phi_{1} e^{k z}+\phi_{2} e^{-k z} \tag{17} \label{eq17} \] 其中，$ \phi_{1}, \, \phi_{2} $ 为常数。

• 考虑有限水深情况，水深 $ h $。

图 2 有限水深几何坐标系示意图

如图 2 所示，考虑水底无穿透边界条件为 \[ \left.\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right|_{z = - h} = 0 \tag{18} \label{eq18} \] 将式 \(\eqref{eq16}\) \(\eqref{eq17}\) 代入上式，可令 \[ \phi_{1} e^{-k h}=\phi_{2} e^{k h}=\frac{1}{2} \phi_{0} \tag{19} \label{eq19} \] 进一步可得 \[ \Phi(z)=\phi_{0} \cosh \left[k(z+h)\right] \tag{20} \label{eq20} \] 故扰动速度势 $ \varphi $ 解为 \[ \varphi=\phi_{0} \cosh \left[k(z+h)\right] e^{i(k x-\omega t)} \tag{21} \label{eq21} \] 将上式解代入式 \(\eqref{eq15}\)，可得水波色散关系式 \[ \omega^{2} = gk \tanh (kh) \tag{22} \label{eq22} \] 注意到，当 $ kh \ll 1 $，即 $ h \ll \frac{1}{k} = \frac{\lambda}{2 \pi} $ 时，有 \[ \tanh (kh) = kh - \frac{1}{3} (kh)^{3} + O((kh)^{5}) \approx kh \tag{23} \label{eq23} \] 将上式代入式 \(\eqref{eq22}\)，可得 \[ \omega^{2} = gk \left[kh - \frac{1}{3} (kh)^{3} + O((kh)^{5})\right] = g h k^{2} \left[1 - \frac{1}{3} (k h)^{2} + O ((kh)^{4})\right] \tag{24} \label{eq24} \] 故水波波速 $ c $ 为 \[ c = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T} = \sqrt{g h \left[1 - \frac{1}{3} (k h)^{2} + O ((kh)^{4})\right]} \approx \sqrt{g h} \tag{25} \label{eq25} \] 观察上式可得，若水深 $ h $ 远小于波长 $ \lambda $ 时，此时称该界面波为浅水波，具有非色散特性，特征是波速 \(c\) 仅与以及水深 $ h $ 有关。

答案揭晓环节

有了上面的波速关系式，我们就可以回到最初的问题，即如何仅通过观察波浪行进速度就能估计出湖的深度？

若我们观察到一列行进速度较为稳定的大波浪，其波长 $ \lambda $ 很长，可近似满足远大于水深 $ h $ 的条件，即浅水波，即可快速估计水深 \[ h = \frac{c^{2}}{g} \tag{26} \label{eq26} \] 其中，$ c $ 为水波行进速度， $ g \approx 9.81 \, \text{m} / \text{s}^{2} $ 为重力加速度。

事实上，该关系式在 $ \frac{\lambda}{20} < h < \frac{\lambda}{2} $ 情况下均适用。当然，这只是根据水波动力学推导出的理论关系式，其中包含众多假设条件，实际上只是一种粗略的估计。

最后，值得注意的是，若满足水波波长 $ \lambda $较短，水深 $ h $ 较大，即 $ h > \frac{\lambda}{2} $ 时，通常认为该水波为深水波（或表面波），此时界面波为负色散波，其色散关系式为 \[ c = \sqrt{\frac{g}{k}} \tag{27} \label{eq27} \] 即波长越长，波数越小，波速越大。此时波速与水深无关，这也就意味着我们也就不能根据波速来估计湖的水深啦~

想象一下，站在湖面，欣赏美景，观看浪潮，顺便还能估算出湖的深度，是不是非常神奇呢？（手动狗头 doge）

参考资料

以上就是本期全部内容，参考朱克勤、彭杰老师的《高等流体力学》。

公式推导不够细致，排版也不够美观，还请大家谅解。如有疑问，敬请大家批评指正！

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Finished by pkufzh (Small Shrimp) on 2022/02/07 .

Who am I? A happy shrimp from Peking University!